算数オリンピックの良問で鍛える：対称性×立体感覚×数の性質――迷子にならない整理のしかた

条件を整理する（立体の見取り図を頭に置く）

• 立方体の角（頂点）は8個。
• 1〜8を1回ずつ、8つの角に入れる。
• どの面も、4つの角の和が同じになる。
• Aは「1と向かい合う角」（同じ面を共有しない位置）。

頭の中で起きていること
「置き方」に入る前に、角・辺・面の関係と、Aと1の位置関係をはっきりさせる。

つまずきポイント
図を見たまま試行錯誤に入り、根拠のある整理に戻れなくなる。

求められる力

• 空間根拠力：角・面の関係、Aと1の位置関係を頭に置き続ける力。

1つの面の和を先に決める（18）

• 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36
• 立方体の1つの角には面が3枚集まる。よって、どの数字も面の和づくりに3回登場する。
• 6面の和を全部足した総合計＝36×3＝108
• 6つの面はすべて同じ和なので、1面の和＝108÷6＝18

各頂点の数字は、面の合計づくりに「3回」登場します

頭の中で起きていること
「置き方」ではなく「数え方」で全体を見ている。立方体の対称性を使って、配置に関係なく決まる数字を固定する。

つまずきポイント
36×3の意味がぼやける（“3回登場”のイメージが弱い）。108÷6が「同じ和が6回分」という意味につながらない。

求められる力

• 数量・数理の中核：合計を「回数」で捉える（36×3、108÷6）。
• 空間根拠力：角に面が3枚集まる構造を保ちながら数える。

「1を含む面」3枚にズームする（見る範囲を一気に狭める）

• 1は角に入る。
• 角には面が3枚集まる。
• よって、1を含む面は必ず3枚。
• ここからは「1のまわりの3面」に注目して考える。

頭の中で起きていること
6面全部を追うのをやめ、「1の周り」という小さな範囲にズームして、迷子になるのを防いでいる。

つまずきポイント
どこから手をつけるべきか分からず、配置の試行錯誤に戻ってしまう。

求められる力

• 空間根拠力：角→面3枚の構造を使って、注目点を固定できる。
• 実行ロジック機能（補助）：対象を絞って情報量を減らす。

「1を含む面」の候補を作る準備（残り3つの和＝17）

• 面の和は18。
• 1を含む面では、残り3つの和＝18−1＝17。
• まず探すのは「面そのもの」ではなく、1以外の3つの数の組（合計17）。
• 合計17の3つ組が見つかったら、そこに1を足して面の4つ組にする。

頭の中で起きていること
立体の条件（面の和が18）を、足し算の条件（1以外が17）へ変換して扱いやすくしている。

つまずきポイント
「合計17の3つ組」と「面の4つ組（1を足したもの）」が混ざり、何を集めているか分からなくなる。

求められる力

• 数量・数理の中核：条件を引き算で変形し、扱いやすい形にする（18−1＝17）。
• 意味表現力（補助）：「3つ組／4つ組」を言葉で区別して進める。

合計17の3つ組を「漏れなく」出す（最大の数に注目）

• ここで、「7と8を選ばない（＝使えるのは1〜6だけ）」とすると、3つの和の最大は 6＋5＋4＝15。
• でも、1を含む面では「残り3つの和＝18−1＝17」が必要なので、最大でも15では17に届かない（＝17を作れない）。
• したがって「7と8を選ばない」は不可能。よって、合計17の3つ組には必ず7か8が入る。

（1）8が入る場合

• 残り2つの和＝17−8＝9
• 9になるペア： (2,7), (3,6), (4,5)
• それぞれに8を足して3つ組： (2,7,8), (3,6,8), (4,5,8)

（2）7が入る場合（8を使わない場合）

• 残り2つの和＝17−7＝10
• 10になるペア： (4,6)
• 7を足して3つ組： (4,6,7)

合計17の3つ組（全部）

(2,7,8)　(3,6,8)　(4,5,8)　(4,6,7)

1を足して「1を含む面」の候補（4つ組）にする

(1,2,7,8)　(1,3,6,8)　(1,4,5,8)　(1,4,6,7)

頭の中で起きていること
勘ではなく上限（6＋5＋4＝15）で「必ず7か8」を確定し、探す範囲を狭めている。
さらに「ペア→付け足し」で候補を部品化し、漏れなく集めている。

つまずきポイント
「8が入るはず」と決め打ちし、(4,6,7) を落としてしまう。
(2,7) → (2,7,8) が「部品を足して組み立てている」作業だと分からず、行の意味が途切れる。

求められる力

• 数量・数理の中核：上限でしぼり、場合分けで漏れなく列挙する。
• 実行ロジック機能：「最大→残り→ペア→付け足し」の順で段階化する。
• 構造視覚推論：ペアを部品として扱い、組み立てる構造を保つ。

立体のルールで「同時に成り立たない」を排除する

• 1を含む面は3枚なので、候補4つ組から3つを選ぶ。
• (1,2,7,8)、(1,3,6,8)、(1,4,5,8) はどれも「1と8が同じ面」にある。
• この3つを同時に選ぶと、1のまわりの3面すべてに8が登場してしまう。
• しかし、1のまわりの3面が共通にもつ角は「1」だけ。別の数字（8）が3面すべてに同時に入ることはできない。
• よって、8を含まない唯一の候補 (1,4,6,7) は必ず入る。

残り2面の選び方（3通り）

• (1,2,7,8) と (1,3,6,8) と (1,4,6,7)
• (1,2,7,8) と (1,4,5,8) と (1,4,6,7)
• (1,3,6,8) と (1,4,5,8) と (1,4,6,7)

頭の中で起きていること
ここからは足し算ではなく、面どうしの交わり方（共通に持てる角は1つ）という立体の構造で「不可能」を消している。

つまずきポイント
「同じ面に入れる」ことと「同時に成立する」ことを混同し、8入り3面を選んでしまう。
立体の共通部分（3面の共通は1点）がイメージできないと、理由が腑に落ちにくい。

求められる力

• 構造視覚推論：面の交わり（共通は1点）という構造で可否を判断する。
• 空間根拠力：面どうしの重なり方を頭の中で保つ。

Aは「残った数字」で決まる（配置を完成させない）

• Aは1と向かい合う角なので、1を含む3面には入らない。
• よって、上で決めた「1を含む3面」に出てくる数字は1〜8のうち7個。
• その7個に入っていない残り1個がA。

3通りを調べる

• (1,2,7,8)・(1,3,6,8)・(1,4,6,7) → 出ない数 5 → A＝5
• (1,2,7,8)・(1,4,5,8)・(1,4,6,7) → 出ない数 3 → A＝3
• (1,3,6,8)・(1,4,5,8)・(1,4,6,7) → 出ない数 2 → A＝2

まとめ：A＝2，3，5

頭の中で起きていること
置き方を完成させずに、位置関係（Aは1と面を共有しない）から「出る数・出ない数」で決め切っている。

つまずきポイント
Aを「どこかの面に出る数字」だと思い込み、配置を最後まで作ろうとしてしまう。
7個の集合を作るときに、重複や見落としで混乱する。

求められる力

• 数量・数理の中核：「出る7個／出ない1個」の集合整理で確定する。
• 空間根拠力：Aが1と面を共有しない位置だと捉え、判断に使う。
• 実行ロジック機能（補助）：目的（Aだけ）に合わせて手順を短縮する。