算数はセンスやひらめきじゃない。中学受験算数の良問で育てる「思考のOS」

問題の条件を確認する

• 三角形ABC
• AB＝AC＝5cm（＝二等辺三角形）
• ∠A＝30°
• この三角形の面積を求める
• 使う公式はただひとつ：三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2

頭の中で起きていること
「あ、三角形の面積の公式だ」「二等辺三角形なんだな」と“習ったこと”を思い出す。
公式を「覚えているかどうか」までは、多くの子がクリアできる。

つまずきポイント
公式を覚えたところで安心してしまい、「じゃあどこが底辺？高さ？」という“次の一歩”が出てこない。

求められる力

• センサーモニター力：公式を知っていても、「この図のどこに当てはめるのか」がまだ分かっていない“モヤっと感”に気づけるかどうか。
• 意味表現力：頭の中で「底辺どこ？高さは？」と自分に問いを立てられるか。

ステップ① 三角形を「くるっと倒して」、長さが分かる辺を底辺にする

• もとの図は、下にBC、頂点にAが来る「きれいな二等辺三角形」に見える。
• 多くの子はまず、頂点Aから下の辺BCに向かって高さをおろそうと考える。
• しかし、このやり方ではBCの長さも、高さの長さも分からず、今習っている公式だけでは数値が出てこない。
• そこで発想を切り替え、三角形（または紙全体）をくるっと倒して、長さ5cmと分かっている辺ACを横向きの「底辺」にしてしまう。
• 図形を回しても、三角形の形も面積も変わらない。

頭の中で起きていること
見た瞬間は、
「きれいな二等辺三角形だから、AからBCに高さをおろせばよさそう」
と感じます。実際に、そこから考えはじめるのはごく自然です。
ところが、その高さの長さは、この段階の知識（面積の公式だけ）では出てきません。
「あれ、いつものやり方なのに数字が出てこない…」という行き詰まりとモヤモヤが生まれます。

つまずきポイント
見た目どおりの「正しそうなやり方」に固まりがち。
「きれいな図＝この形のまま解かなきゃいけない」と思い込み、AからBCに高さをおろす以外の方法を考えにくくなります。
「図を回してもいい」「底辺を別の辺にしてもいい」という発想が出てこないのが大きな壁です。

求められる力

• センサーモニター力：「正しそうなやり方なのに、先に進めない」というモヤモヤに気づき、「別の見方が必要かも」と感じられる力。
• 空間根拠力：図をくるっと倒しても同じ三角形・同じ面積だと理解し、「解きやすい向き」に変えてみようとする感覚。
• 実行ロジック機能：「じゃあ、5cmの辺を底辺にしてみよう」と、発想の転換を具体的な操作に落とし込む力。

ステップ② Bから底辺に「まっすぐ」線をおろす（高さを作る）

• 底辺をACと決めたので、こんどは高さがほしい。
• 頂点B（てっぺん）から底辺ACに向かって、まっすぐ下に線BDを引く。
• これが三角形の「高さ」。
• 三角形ABDとCBDの二つの三角形ができる。

頭の中で起きていること
「底辺が決まったから、次は高さだよね」と公式の形を意識できる子もいる。
ただし、「高さ＝底辺に対して直角の線」というイメージが弱いと、斜めに線を引いてしまったり、違う頂点から下ろそうとすることも。

つまずきポイント
「高さ」は“てっぺんから真下”ではなく、底辺に対して直角という定義があいまいなままになりがち。
二等辺であること（AB＝AC）を使わずに、とりあえず線を引いてしまう。

求められる力

• 数量・数理の中核：「底辺×高さ」という式の“高さ”の意味（垂直な長さ）をイメージできること。
• 構造視覚推論：二等辺三角形に高さを下ろすと、左右が対称になる・底辺が真ん中で分かれるという“構造”を見抜く準備。

ステップ③ 角度を利用して「60°」を見つける

• 三角形ABDに注目。
• ∠Dは、BDを「まっすぐ下に」おろしたので90°。
• ∠Aは30°と問題の条件で分かっている。
• 三角形の内角の和は180°なので：
  ∠B（ABDの角）＝ 180 − 90 − 30 ＝ 60°
• ここで、60°という数字が出てくる。

頭の中で起きていること
「三角形の内角の和は180°だよね」と計算ルールを思い出す。
計算自体はできても、「60°が出たこと」の意味まで意識できない子も多い。

つまずきポイント
60°が出ても、「あ、そうなんだ」で終わってしまい、そこから次の一手（正三角形）につながらない。

求められる力

• 数量・数理の中核：180°から引き算して角度を求める、基本的な数の処理。
• 構造視覚推論：60°という値を見たときに、「正三角形（60°が3つ）に関係しそうだ」という“構造感覚”を持てるかどうか。

ステップ④ 60°から「正三角形」を作る

• 60°が出てきたら、「正三角形」を思い出す。
  正三角形 ＝ 3つの辺がすべて等しく、3つの角がすべて60°。
• いま、辺ABの長さは5cm、その両側の角の一つが60°という状況。
• そこで、
  「AB＝5cmを1辺とする正三角形をここにくっつけられる」
  と考える。
• 実際の図では、ABを1辺とする正三角形を外側に赤線で描き足し、正三角形の3つめの頂点がBDの延長線上に来るように描いている。

頭の中で起きていること
うまくいっているとき：
「60°があったら、正三角形をイメージできるかも」
「同じ長さの辺が3本そろっている状態を作ればいいんだな」
単なる「計算結果の60°」を、“意味のある形”に引き上げられるかどうかが勝負。

つまずきポイント：60°は見えても、「正三角形を作る」発想が出ない
「正三角形」という言葉は知っていても、自分で図の中に“生やす”経験が少ない。
「今ある線をどう使えばいいか」ばかり考えてしまい、新しく図形を作り足してもいいという感覚が育っていない。

求められる力

• 構造視覚推論：図の中に「正三角形の種」を見つけて、それを完成させるイメージ力。
• 空間根拠力：既存の図に、頭の中で新しい辺を描き足しても“ごちゃごちゃにならない”空間的な把握力。
• 実行ロジック機能：「じゃあ、この60°を使ってABと同じ長さの辺を描き足そう」と行動に変えるステップ。

ステップ⑤ BDが「正三角形の一辺の半分」だと分かる

• △ABE が AB＝AE＝BE＝5cm の正三角形 であることを思い出す。
• AD が BE に垂直で、AD ⟂ BE、つまり A から辺 BE におろした「高さ」になっている。
• 正三角形を、線 AD を折り目にパタンと折りたたむイメージをすると、B と E がぴったり重なるので、AD は底辺 BE の真ん中（中点）を通ると考えられる。
• だから、D は BE の中点 になり、BE（5cm）が BD と DE の2つに同じように分かれていると分かる。
• したがって、BD ＝ 5cm の半分 ＝ 2.5cm と分かる。
• これが、求めたかった「高さ」。

頭の中で起きていること
△ABE が正三角形で、BE＝5cm だと分かっている。
さらに、AD が BE に垂直なので、AD は「正三角形の高さ」になっていると考える。
この線 AD を折り目にして三角形をパタンと折ると、辺ABとACが重なり、点BとEも重なるはずだとイメージする。
だから「Aからおろした垂線ADは、底辺BEのちょうど真ん中を通る＝Dは中点だ」と気づく。
「同じ長さが2つで5cmだから、1つ分は2.5cmだね」と考える。

つまずきポイント
「正三角形を折りたたむと左右が重なる」という対称性のイメージが持てず、D が中点と分からない。
「5cmを同じ2つに分ける＝2.5cm」という“半分”の数量感覚が持てない。

求められる力

• 構造視覚推論：線 AD を折り目にしたときに左右が重なるイメージをもち、「中点で分けられている」構造（対称性）を見抜く目。
• 数量・数理の中核：「5を同じ2つに分けると2.5と2.5」という、分数・小数を伴う“半分”の感覚。
• 意味表現力：「どうして半分って分かったの？」と聞かれたときに、「折りたたむと左右が重なるから」と図を指しながら説明できる力。

ステップ⑥ 面積の計算

• 底辺 AC ＝ 5cm
• 高さ BD ＝ 2.5cm
• 面積 ＝ 5 × 2.5 ÷ 2 ＝ 6.25（平方センチメートル）
• 以上が、「三角形の面積公式だけ」と「正三角形の形の性質」で解く流れ。

頭の中で起きていること
ここまでくれば、計算は“作業”に近い。
ただし、「なぜこの5が底辺で、この2.5が高さなのか」が分からないまま式だけ覚えていると、似た問題で混乱する。

つまずきポイント
底辺と高さの対応がごちゃごちゃになり、「とりあえず数字をかけて2で割る」だけになる。

求められる力

• 数量・数理の中核：式の中の数が「図のどの長さ」を表しているかをイメージしながら計算する力。
• 意味表現力：「この5はここ、この2.5はここ」と図と式を行き来しながら説明できること。