3点を通る平面で切るのに、断面はなぜ五角形になる？

高槻中学校2023年度入試の立体切断を、理由から考える

立体の切断問題では、切断面を直接見ることができません。

今回の問題では、A・C・Dの3点を通る平面で立方体を切ります。どのような平面で切るのかは、この3点によって決まっています。

その平面が立方体のどの面を通り、どの辺と交わるのかを順に確かめていきます。

問題

一辺6cmの立方体があります。

• AとBは立方体の頂点
• CとDは、それぞれ辺の真ん中の点

この立方体を、A・C・Dの3点を通る平面で切ります。

切ったときにできる断面は、どのような形になるでしょうか。

正解

五角形です。

「3点を通る」から、三角形になるわけではない

A・C・Dの3点を結ぶと、三角形ができます。

そのため、

と考えやすいかもしれません。

しかし、A・C・Dは、切断面の位置を決める3点です。断面の頂点がこの3点だけになる、という意味ではありません。

切断面は立方体の中を通り、ほかの辺とも交わります。この問題では、A・C・Dのほかに二つの頂点が見つかります。

思考のプロセス1

CとDを直線アで結ぶ

CとDは、どちらも切断面上の点です。

そのため、CとDを通る直線アも切断面上にあります。底面では、CとDを結ぶ部分が断面の一辺になります。

思考のプロセス2

底面の辺を延ばし、直線アとの交点P・Qをつくる

直線アを左右に伸ばし、底面の辺を延長した直線イ、直線ウと交わらせます。

• 直線アと直線イの交点がP
• 直線アと直線ウの交点がQ

PとQは直線ア上にあるため、どちらも切断面上の点です。

PとQは立方体の外側にあるので、断面の頂点ではありません。切断面が側面のどこを通るのかを見つけるために使います。

思考のプロセス3

AとPを直線エで結ぶ

Pは、Aを含む側面の下の辺を伸ばした直線イ上にあります。そのため、AとPは、立方体の同じ側面を広げた面の上にあります。

また、AとPは、どちらも切断面上の点です。

したがって、AとPを結ぶ直線エは、切断面と立方体の側面の両方に共通する線になります。

直線エのうち、実際の側面に入っている部分が、その側面にできる切り口です。直線エと立方体の辺が交わるところが、断面の新しい頂点になります。

思考のプロセス4

AとQを直線オで結ぶ

Qは、Aを含むもう一つの側面の下の辺を伸ばした直線ウ上にあります。そのため、AとQは、立方体の同じ側面を広げた面の上にあります。

また、AとQは、どちらも切断面上の点です。

したがって、AとQを結ぶ直線オは、切断面と立方体の側面の両方に共通する線になります。

直線オのうち、実際の側面に入っている部分が、その側面にできる切り口です。直線オと立方体の辺が交わるところが、もう一つの断面の頂点になります。

5つの頂点が見つかる

ここまでのプロセスで、断面の頂点が五つ見つかりました。

• A
• C
• D
• 直線エと立方体の辺との交点
• 直線オと立方体の辺との交点

この五つの点を、切断面が通る順につなぐと、断面の五角形が完成します。

チャレンジ問題の答え

動画では、次の問題を出題しています。

切断面は、A・C・Dの3点を通る平面です。

CとDは切断面上にあるため、CとDを通る直線アも切断面上にあります。

PとQは、どちらも直線ア上につくった点です。そのため、PとQも切断面上にあります。

さらに、AとPは、立方体の同じ側面を広げた面の上にあります。

そのため、AとPを結ぶ直線エは、切断面とその側面の両方に共通する線です。直線エのうち、実際の側面に入っている部分が、その側面にできる切り口になります。

同じように、AとQを結ぶ直線オも、切断面ともう一つの側面の両方に共通する線です。直線オのうち、実際の側面に入っている部分が、その側面にできる切り口になります。

直線エと直線オが立方体の辺と交わるところに、断面の新しい頂点が一つずつ見つかります。

PとQは立方体の外側にあるため、断面の頂点ではありません。A・P・C・D・Qが同じ切断面上にあることを使って、切断面が立方体の側面を通る位置を見つけるための点です。

その結果、もともとのA・C・Dと、新しく見つかった二つの交点を合わせた五つの頂点がつながり、断面が五角形になることが分かります。

この問題に必要な思考のOS